פתור את 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1.744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0.344030651$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎\sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{109} מ- ‎7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

החסרת -3 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

החסר ‎-3 מ- ‎0.

$$5x^{2}-7x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

חלק את ‎-\frac{7}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

הוסף את ‎\frac{3}{5} ל- ‎\frac{49}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

הוסף ‎\frac{7}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$