פתור את 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎24 משני האגפים.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-15 b=8$$

שכתב את ‎5x^{2}-7x-24 כ- ‎\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-7x=24$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

החסרת 24 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- -24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±23}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎23.

$$x=\frac{30}{10}$$

חלק את ‎30 ב- ‎10.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±23}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

חלק את ‎-\frac{7}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

הוסף את ‎\frac{24}{5} ל- ‎\frac{49}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

הוסף ‎\frac{7}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$