פתור את 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2.410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1.410497317$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -17 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎\sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

חלק את ‎5+\sqrt{365} ב- ‎10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{365} מ- ‎5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

חלק את ‎5-\sqrt{365} ב- ‎10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

הוסף ‎17 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

החסרת -17 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

החסר ‎-17 מ- ‎0.

$$5x^{2}-5x=17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

חלק את ‎-5 ב- ‎5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{17}{5} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$