פתור את 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -40 במקום b, וב- 85 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

‎-40 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1600 ל- ‎-1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-40 הוא ‎40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{40±10i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎40 ל- ‎10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

חלק את ‎40+10i ב- ‎10.

$$x=4+i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{40±10i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10i מ- ‎40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

חלק את ‎40-10i ב- ‎10.

$$x=4-i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=4+i x=4-i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

החסר ‎85 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

החסרת 85 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

חלק את ‎-85 ב- ‎5.

$$x^{2}-8x=-17$$

חלק את ‎-8, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-4. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -4 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

‎-4 בריבוע.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

הוסף את ‎-17 ל- ‎16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

פרק x^{2}-8x+16 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

פשט.

$$x-4=i x-4=-i$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$x=4+i x=4-i$$