פתור את 5x^2-4x-12

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 12$$

פרק לגורמים

$$\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5x^{2}+ax+bx-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=5\left(-12\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-10 b=6$$

שכתב את ‎5x^{2}-4x-12 כ- ‎\left(5x^{2}-10x\right)+\left(6x-12\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(6x-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-2\right)+6\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-4x-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{4±16}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±16}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎16.

$$x=\frac{20}{10}$$

חלק את ‎20 ב- ‎10.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±16}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎4.

$$x=-\frac{12}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{6}{5} במקום x_{2}.

$$5x^{2}-4x-12=5\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5x^{2}-4x-12=5\left(x-2\right)\left(x+\frac{6}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{6}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5x^{2}-4x-12=5\left(x-2\right)\times \frac{5x+6}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5x^{2}-4x-12=\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$

הערך

$$\left(x-2\right)\left(5x+6\right)$$