פתור את 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$1,-10 2,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-5 b=2$$

שכתב את ‎5x^{2}-3x-2 כ- ‎\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 5x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±7}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎7.

$$x=\frac{10}{10}$$

חלק את ‎10 ב- ‎10.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±7}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎3.

$$x=-\frac{4}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

החסרת -2 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

החסר ‎-2 מ- ‎0.

$$5x^{2}-3x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

חלק את ‎-\frac{3}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎\frac{9}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

פרק x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

הוסף ‎\frac{3}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$