פתור את 5x^2-10x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 10 x - 9 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1\approx 2.673320053$$

$$x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1\approx -0.673320053$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-10x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

‎-10 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+180}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎180.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{280}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 280.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{70}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{70}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎2\sqrt{70}.

$$x=\frac{2\sqrt{70}+10}{10}$$

חלק את ‎10+2\sqrt{70} ב- ‎10.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{70} מ- ‎10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{70}}{10}$$

חלק את ‎10-2\sqrt{70} ב- ‎10.

$$x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$5x^{2}-10x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{9}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{9}{5}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎5.

$$x^{2}-2x=\frac{9}{5}$$

חלק את ‎-2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{5}+1$$

הוסף את ‎\frac{9}{5} ל- ‎1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{14}{5}$$

פרק x^{2}-2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{14}{5}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{5}}$$

פשט.

$$x-1=\frac{\sqrt{70}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{70}}{5}$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$