פתור את 5x^2+x+1=5

$$5 x ^ { 2 } + x + 1 = 5$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎5 משני האגפים.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

החסר את 5 מ- 1 כדי לקבל -4.

$$5x^{2}+x-4=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-4 b=5$$

שכתב את ‎5x^{2}+x-4 כ- ‎\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 5x^{2}-4x.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5x-4=0 ו- x+1=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+x+1=5$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+x+1-5=5-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

החסר ‎5 מ- ‎1.

$$5x^{2}+x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±9}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎9.

$$x=\frac{8}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±9}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎9 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{10}{10}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎10.

$$x=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x+1=5$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+x+1-1=5-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+x=5-1$$

החסר ‎1 מ- ‎5.

$$5x^{2}+x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

חלק את ‎\frac{1}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎\frac{1}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

החסר ‎\frac{1}{10} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$