פתור את 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+36. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 12.

$$a=6 b=6$$

שכתב את ‎x^{2}+12x+36 כ- ‎\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x+6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את x+6=0.

$$x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 60 במקום b, וב- 180 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

‎60 בריבוע.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎3600 ל- ‎-3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

חלק את ‎-60 ב- ‎10.

$$x=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

החסר ‎180 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

החסרת 180 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+60x=-180$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

חלק את ‎60 ב- ‎5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

חלק את ‎-180 ב- ‎5.

$$x^{2}+12x=-36$$

חלק את ‎12, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎6. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 6 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

‎6 בריבוע.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

הוסף את ‎-36 ל- ‎36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

פרק x^{2}+12x+36 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x+6=0 x+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$x=-6 x=-6$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=-6$$