פתור את 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0.6+1.280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0.6-1.280624847i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

‎6 בריבוע.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

חלק את ‎-6+2i\sqrt{41} ב- ‎10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{41} מ- ‎-6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

חלק את ‎-6-2i\sqrt{41} ב- ‎10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

החסרת 10 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

חלק את ‎\frac{6}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

פרק x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

החסר ‎\frac{3}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$