פתור את 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0.4+0.663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0.4-0.663324958i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

חלק את ‎-4+2i\sqrt{11} ב- ‎10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{11} מ- ‎-4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

חלק את ‎-4-2i\sqrt{11} ב- ‎10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

חלק את ‎\frac{4}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{2}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{2}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎\frac{4}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

פרק x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

פשט.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

החסר ‎\frac{2}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$