פתור את 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{11} מ- ‎-3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

חלק את ‎\frac{3}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{5} ל- ‎\frac{9}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

החסר ‎\frac{3}{10} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$