פתור את 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 21.

$$a=1 b=20$$

שכתב את ‎5x^{2}+21x+4 כ- ‎\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5x+1=0 ו- x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 21 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

‎21 בריבוע.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎441 ל- ‎-80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-21±19}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-21 ל- ‎19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-21±19}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎-21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎10.

$$x=-4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

חלק את ‎\frac{21}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{21}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{21}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{21}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{5} ל- ‎\frac{441}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

פרק x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

פשט.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

החסר ‎\frac{21}{10} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$