פתור את 5v^2+45v+70

$$5 v ^ { 2 } + 45 v + 70$$

פרק לגורמים

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(v^{2}+9v+14\right)$$

שקול את v^{2}+9v+14. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- v^{2}+av+bv+14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=9 ab=1\times 14=14$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 14.

$$1,14 2,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+14=15 2+7=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$a=2 b=7$$

שכתב את ‎v^{2}+9v+14 כ- ‎\left(v^{2}+2v\right)+\left(7v+14\right).

$$\left(v^{2}+2v\right)+\left(7v+14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף v בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$v\left(v+2\right)+7\left(v+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף v+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5v^{2}+45v+70=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$v=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

‎45 בריבוע.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-20\times 70}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎70.

$$v=\frac{-45±\sqrt{2025-1400}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎2025 ל- ‎-1400.

$$v=\frac{-45±\sqrt{625}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 625.

$$v=\frac{-45±25}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$v=\frac{-45±25}{10}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-45±25}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-45 ל- ‎25.

$$v=-\frac{20}{10}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎10.

$$v=-2$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-45±25}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎25 מ- ‎-45.

$$v=-\frac{70}{10}$$

חלק את ‎-70 ב- ‎10.

$$v=-7$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-2 במקום x_{1} וב- ‎-7 במקום x_{2}.

$$5v^{2}+45v+70=5\left(v-\left(-2\right)\right)\left(v-\left(-7\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5v^{2}+45v+70=5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$

הערך

$$5\left(v+2\right)\left(v+7\right)$$