פתור את 5v^2+14v+8

$$5 v ^ { 2 } + 14 v + 8$$

פרק לגורמים

$$\left(v+2\right)\left(5v+4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5v^{2}+av+bv+8. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=14 ab=5\times 8=40$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 40.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 14.

$$a=4 b=10$$

שכתב את ‎5v^{2}+14v+8 כ- ‎\left(5v^{2}+4v\right)+\left(10v+8\right).

$$\left(5v^{2}+4v\right)+\left(10v+8\right)$$

הוצא את הגורם המשותף v בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$v\left(5v+4\right)+2\left(5v+4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5v+4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5v+4\right)\left(v+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5v^{2}+14v+8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$v=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

‎14 בריבוע.

$$v=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$v=\frac{-14±\sqrt{196-20\times 8}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎8.

$$v=\frac{-14±\sqrt{196-160}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎-160.

$$v=\frac{-14±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 36.

$$v=\frac{-14±6}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$v=\frac{-14±6}{10}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-14±6}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-14 ל- ‎6.

$$v=-\frac{8}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$v=-\frac{4}{5}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-14±6}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6 מ- ‎-14.

$$v=-\frac{20}{10}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎10.

$$v=-2$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{4}{5} במקום x_{1} וב- ‎-2 במקום x_{2}.

$$5v^{2}+14v+8=5\left(v-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(v-\left(-2\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5v^{2}+14v+8=5\left(v+\frac{4}{5}\right)\left(v+2\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5v^{2}+14v+8=5\times \frac{5v+4}{5}\left(v+2\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5v^{2}+14v+8=\left(5v+4\right)\left(v+2\right)$$

הערך

$$\left(v+2\right)\left(5v+4\right)$$