פתור את 5p^2-48p-20

$$5 p ^ { 2 } - 48 p - 20$$

פרק לגורמים

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5p^{2}+ap+bp-20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-48 ab=5\left(-20\right)=-100$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -100.

$$1,-100 2,-50 4,-25 5,-20 10,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-100=-99 2-50=-48 4-25=-21 5-20=-15 10-10=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -48.

$$a=-50 b=2$$

שכתב את ‎5p^{2}-48p-20 כ- ‎\left(5p^{2}-50p\right)+\left(2p-20\right).

$$\left(5p^{2}-50p\right)+\left(2p-20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5p בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$5p\left(p-10\right)+2\left(p-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף p-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5p^{2}-48p-20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

‎-48 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-20.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+400}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎2304 ל- ‎400.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2704}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2704.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±52}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-48 הוא ‎48.

$$p=\frac{48±52}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$p=\frac{48±52}{10}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{48±52}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎48 ל- ‎52.

$$p=\frac{100}{10}$$

חלק את ‎100 ב- ‎10.

$$p=10$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{48±52}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎52 מ- ‎48.

$$p=-\frac{4}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$p=-\frac{2}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎10 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{5} במקום x_{2}.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\left(p+\frac{2}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎p על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\times \frac{5p+2}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5p^{2}-48p-20=\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

הערך

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$