פתור את 5p^2-24p-5

$$5 p ^ { 2 } - 24 p - 5$$

פרק לגורמים

$$\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5p^{2}+ap+bp-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-24 ab=5\left(-5\right)=-25$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -25.

$$1,-25 5,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-25=-24 5-5=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -24.

$$a=-25 b=1$$

שכתב את ‎5p^{2}-24p-5 כ- ‎\left(5p^{2}-25p\right)+\left(p-5\right).

$$\left(5p^{2}-25p\right)+\left(p-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5p ב- 5p^{2}-25p.

$$5p\left(p-5\right)+p-5$$

הוצא את האיבר המשותף p-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5p^{2}-24p-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

‎-24 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-5.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+100}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎100.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{676}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$p=\frac{-\left(-24\right)±26}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$p=\frac{24±26}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$p=\frac{24±26}{10}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{24±26}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎26.

$$p=\frac{50}{10}$$

חלק את ‎50 ב- ‎10.

$$p=5$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{24±26}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎24.

$$p=-\frac{2}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$p=-\frac{1}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎5 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{5} במקום x_{2}.

$$5p^{2}-24p-5=5\left(p-5\right)\left(p-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5p^{2}-24p-5=5\left(p-5\right)\left(p+\frac{1}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎p על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5p^{2}-24p-5=5\left(p-5\right)\times \frac{5p+1}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5p^{2}-24p-5=\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$

הערך

$$\left(p-5\right)\left(5p+1\right)$$