פתור את 5m^2-14m-15=0

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

פתור עבור m

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3.627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0.827105745$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

‎-14 בריבוע.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-15.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎300.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 496.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎4\sqrt{31}.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

חלק את ‎14+4\sqrt{31} ב- ‎10.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{31} מ- ‎14.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

חלק את ‎14-4\sqrt{31} ב- ‎10.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$5m^{2}-14m=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

חלק את ‎15 ב- ‎5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

חלק את ‎-\frac{14}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{49}{25}.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

פרק m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

פשט.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

הוסף ‎\frac{7}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$