פתור את 5f^2-40f+75

$$5 f ^ { 2 } - 40 f + 75$$

פרק לגורמים

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(f^{2}-8f+15\right)$$

שקול את f^{2}-8f+15. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- f^{2}+af+bf+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-5 b=-3$$

שכתב את ‎f^{2}-8f+15 כ- ‎\left(f^{2}-5f\right)+\left(-3f+15\right).

$$\left(f^{2}-5f\right)+\left(-3f+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף f בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$f\left(f-5\right)-3\left(f-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף f-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5f^{2}-40f+75=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

‎-40 בריבוע.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 75}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 75}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎75.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1500}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1600 ל- ‎-1500.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 100.

$$f=\frac{-\left(-40\right)±10}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-40 הוא ‎40.

$$f=\frac{40±10}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$f=\frac{40±10}{10}$$

כעת פתור את המשוואה f=\frac{40±10}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎40 ל- ‎10.

$$f=\frac{50}{10}$$

חלק את ‎50 ב- ‎10.

$$f=5$$

כעת פתור את המשוואה f=\frac{40±10}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10 מ- ‎40.

$$f=\frac{30}{10}$$

חלק את ‎30 ב- ‎10.

$$f=3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎5 במקום x_{1} וב- ‎3 במקום x_{2}.

$$5f^{2}-40f+75=5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$

הערך

$$5\left(f-5\right)\left(f-3\right)$$