פתור את 5a^2-16a+3

$$5 a ^ { 2 } - 16 a + 3$$

פרק לגורמים

$$\left(a-3\right)\left(5a-1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5a^{2}+pa+qa+3. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-16 pq=5\times 3=15$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא שלילי, p ו- q שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$p=-15 q=-1$$

שכתב את ‎5a^{2}-16a+3 כ- ‎\left(5a^{2}-15a\right)+\left(-a+3\right).

$$\left(5a^{2}-15a\right)+\left(-a+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5a בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$5a\left(a-3\right)-\left(a-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף a-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(a-3\right)\left(5a-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5a^{2}-16a+3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

‎-16 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$a=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-20\times 3}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎3.

$$a=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-60}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-60.

$$a=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{196}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$a=\frac{-\left(-16\right)±14}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-16 הוא ‎16.

$$a=\frac{16±14}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$a=\frac{16±14}{10}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{16±14}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎16 ל- ‎14.

$$a=\frac{30}{10}$$

חלק את ‎30 ב- ‎10.

$$a=3$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{16±14}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎16.

$$a=\frac{2}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=\frac{1}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{5} במקום x_{2}.

$$5a^{2}-16a+3=5\left(a-3\right)\left(a-\frac{1}{5}\right)$$

החסר את a מ- \frac{1}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5a^{2}-16a+3=5\left(a-3\right)\times \frac{5a-1}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5a^{2}-16a+3=\left(a-3\right)\left(5a-1\right)$$

הערך

$$\left(a-3\right)\left(5a-1\right)$$