פתור את 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

פתור עבור y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17.378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0.621455974$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -90 במקום b, וב- 54 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

‎-90 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎8100 ל- ‎-1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-90 הוא ‎90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎90 ל- ‎6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

חלק את ‎90+6\sqrt{195} ב- ‎10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6\sqrt{195} מ- ‎90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

חלק את ‎90-6\sqrt{195} ב- ‎10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

החסר ‎54 משני אגפי המשוואה.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

החסרת 54 מעצמו נותנת 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

חלק את ‎-90 ב- ‎5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

חלק את ‎-18, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-9. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -9 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

‎-9 בריבוע.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

הוסף את ‎-\frac{54}{5} ל- ‎81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

פרק y^{2}-18y+81 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

פשט.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$