פתור את 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0.4+1.356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0.4-1.356465997i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎10.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-200.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -184.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎2i\sqrt{46}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

חלק את ‎4+2i\sqrt{46} ב- ‎10.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{46} מ- ‎4.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

חלק את ‎4-2i\sqrt{46} ב- ‎10.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

החסרת 10 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-4x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

חלק את ‎-\frac{4}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

הוסף ‎\frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$