פתור את 5x^2-48x-48=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x-48=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{4 \sqrt{51} + 24}{5} \approx 10.513142743$$

$$x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}\approx -0.913142743$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-48x-48=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -48 במקום b, וב- -48 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

‎-48 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+960}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎2304 ל- ‎960.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{3264}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3264.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±8\sqrt{51}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-48 הוא ‎48.

$$x=\frac{48±8\sqrt{51}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{48±8\sqrt{51}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{48±8\sqrt{51}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎48 ל- ‎8\sqrt{51}.

$$x=\frac{8\sqrt{51}+48}{10}$$

חלק את ‎48+8\sqrt{51} ב- ‎10.

$$x=\frac{4\sqrt{51}+24}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{48±8\sqrt{51}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8\sqrt{51} מ- ‎48.

$$x=\frac{48-8\sqrt{51}}{10}$$

חלק את ‎48-8\sqrt{51} ב- ‎10.

$$x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4\sqrt{51}+24}{5} x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-48x-48=0$$

הוסף ‎48 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-48x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

החסרת -48 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-48x=-\left(-48\right)$$

החסר ‎-48 מ- ‎0.

$$5x^{2}-48x=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=\frac{48}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=\frac{48}{5}$$

חלק את ‎-\frac{48}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{24}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{24}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{24}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{48}{5}+\frac{576}{25}$$

הוסף את ‎\frac{48}{5} ל- ‎\frac{576}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{816}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{816}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{816}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{4\sqrt{51}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{4\sqrt{51}}{5}$$

הוסף ‎\frac{24}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4\sqrt{51}+24}{5} x=\frac{24-4\sqrt{51}}{5}$$