פתור את 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9.163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0.436515154$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -48 במקום b, וב- 20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

‎-48 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎2304 ל- ‎-400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1904.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-48 הוא ‎48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎48 ל- ‎4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

חלק את ‎48+4\sqrt{119} ב- ‎10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{119} מ- ‎48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

חלק את ‎48-4\sqrt{119} ב- ‎10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

החסרת 20 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

חלק את ‎-\frac{48}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{24}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{24}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{24}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎\frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

הוסף ‎\frac{24}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$