פתור את 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

פרק לגורמים

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5x^{2}+ax+bx+42. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -41.

$$a=-35 b=-6$$

שכתב את ‎5x^{2}-41x+42 כ- ‎\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת -6 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

‎-41 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1681 ל- ‎-840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-41 הוא ‎41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{41±29}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎41 ל- ‎29.

$$x=\frac{70}{10}$$

חלק את ‎70 ב- ‎10.

$$x=7$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{41±29}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎29 מ- ‎41.

$$x=\frac{12}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎7 במקום x_{1} וב- ‎\frac{6}{5} במקום x_{2}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

החסר את x מ- \frac{6}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

הערך

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$