פתור את 5x^2-3x-14

$$5 { x }^{ 2 } -3x-14$$

פרק לגורמים

$$\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5x^{2}+ax+bx-14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=5\left(-14\right)=-70$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-10 b=7$$

שכתב את ‎5x^{2}-3x-14 כ- ‎\left(5x^{2}-10x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(7x-14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-3x-14=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+280}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎280.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±17}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±17}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{3±17}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±17}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎17.

$$x=\frac{20}{10}$$

חלק את ‎20 ב- ‎10.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±17}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎3.

$$x=-\frac{14}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{7}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{5} במקום x_{2}.

$$5x^{2}-3x-14=5\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{7}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5x^{2}-3x-14=5\left(x-2\right)\left(x+\frac{7}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5x^{2}-3x-14=5\left(x-2\right)\times \frac{5x+7}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5x^{2}-3x-14=\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$

הערך

$$\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$