פתור את 5x^2-33x-14=0

$$5 { x }^{ 2 } -33x-14 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-33 ab=5\left(-14\right)=-70$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -33.

$$a=-35 b=2$$

שכתב את ‎5x^{2}-33x-14 כ- ‎\left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(5x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-7=0 ו- 5x+2=0.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -33 במקום b, וב- -14 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

‎-33 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-14.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+280}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1089 ל- ‎280.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1369}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1369.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±37}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-33 הוא ‎33.

$$x=\frac{33±37}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{33±37}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{33±37}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎33 ל- ‎37.

$$x=\frac{70}{10}$$

חלק את ‎70 ב- ‎10.

$$x=7$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{33±37}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎37 מ- ‎33.

$$x=-\frac{4}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

הוסף ‎14 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-33x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

החסרת -14 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-33x=-\left(-14\right)$$

החסר ‎-14 מ- ‎0.

$$5x^{2}-33x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-33x}{5}=\frac{14}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{14}{5}$$

חלק את ‎-\frac{33}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{33}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{33}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{14}{5}+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{33}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{14}{5}+\frac{1089}{100}$$

הוסף את ‎\frac{14}{5} ל- ‎\frac{1089}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{1369}{100}$$

פרק x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{1369}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{37}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{37}{10}$$

הוסף ‎\frac{33}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$