פתור את 5x^2-32x=48

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

פתור עבור x

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7.65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1.25421149$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-32x=48$$

החסר ‎48 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

החסרת 48 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -32 במקום b, וב- -48 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

‎-32 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-32 הוא ‎32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎32 ל- ‎8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

חלק את ‎32+8\sqrt{31} ב- ‎10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8\sqrt{31} מ- ‎32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

חלק את ‎32-8\sqrt{31} ב- ‎10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-32x=48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

חלק את ‎-\frac{32}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{16}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{16}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{16}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

הוסף את ‎\frac{48}{5} ל- ‎\frac{256}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

הוסף ‎\frac{16}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$