פתור את 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0.2+1.720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0.2-1.720465053i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- 15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -296.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

חלק את ‎2+2i\sqrt{74} ב- ‎10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{74} מ- ‎2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

חלק את ‎2-2i\sqrt{74} ב- ‎10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

החסרת 15 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

חלק את ‎-15 ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

חלק את ‎-\frac{2}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎\frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

הוסף ‎\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$