פתור את 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-42. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -29.

$$a=-35 b=6$$

שכתב את ‎5x^{2}-29x-42 כ- ‎\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-7=0 ו- 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -29 במקום b, וב- -42 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

‎-29 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎841 ל- ‎840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-29 הוא ‎29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{29±41}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎29 ל- ‎41.

$$x=\frac{70}{10}$$

חלק את ‎70 ב- ‎10.

$$x=7$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{29±41}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎41 מ- ‎29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

הוסף ‎42 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

החסרת -42 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

החסר ‎-42 מ- ‎0.

$$5x^{2}-29x=42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

חלק את ‎-\frac{29}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{29}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{29}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{29}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

הוסף את ‎\frac{42}{5} ל- ‎\frac{841}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

פרק x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

הוסף ‎\frac{29}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$