פתור את 5x^2+32x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 32 במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

‎32 בריבוע.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-200.

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 824.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-32 ל- ‎2\sqrt{206}.

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

חלק את ‎-32+2\sqrt{206} ב- ‎10.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{206} מ- ‎-32.

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

חלק את ‎-32-2\sqrt{206} ב- ‎10.

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

החסרת 10 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+32x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

חלק את ‎\frac{32}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{16}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{16}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{16}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{256}{25}.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

פשט.

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

החסר ‎\frac{16}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$