פתור את 5x^2+26x-24=0

$$5 { x }^{ 2 } +26x-24=0$$

פתור עבור x

$$x=-6$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=26 ab=5\left(-24\right)=-120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 26.

$$a=-4 b=30$$

שכתב את ‎5x^{2}+26x-24 כ- ‎\left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(5x-4\right)+6\left(5x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-4\right)\left(x+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5x-4=0 ו- x+6=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 26 במקום b, וב- -24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

‎26 בריבוע.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-24.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676+480}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎676 ל- ‎480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{1156}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1156.

$$x=\frac{-26±34}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-26±34}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-26±34}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-26 ל- ‎34.

$$x=\frac{8}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-26±34}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎34 מ- ‎-26.

$$x=-\frac{60}{10}$$

חלק את ‎-60 ב- ‎10.

$$x=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+26x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

החסרת -24 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+26x=-\left(-24\right)$$

החסר ‎-24 מ- ‎0.

$$5x^{2}+26x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+26x}{5}=\frac{24}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x=\frac{24}{5}$$

חלק את ‎\frac{26}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{13}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{13}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{13}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{24}{5}+\frac{169}{25}$$

הוסף את ‎\frac{24}{5} ל- ‎\frac{169}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{289}{25}$$

פרק x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{289}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{25}}$$

פשט.

$$x+\frac{13}{5}=\frac{17}{5} x+\frac{13}{5}=-\frac{17}{5}$$

החסר ‎\frac{13}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$