פתור את 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -15.

$$-1,15 -3,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 2.

$$a=-3 b=5$$

שכתב את ‎x^{2}+2x-15 כ- ‎\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- x+5=0.

$$x=3 x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 10 במקום b, וב- -75 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±40}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎40.

$$x=\frac{30}{10}$$

חלק את ‎30 ב- ‎10.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±40}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎40 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

חלק את ‎-50 ב- ‎10.

$$x=-5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=3 x=-5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

הוסף ‎75 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

החסרת -75 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

החסר ‎-75 מ- ‎0.

$$5x^{2}+10x=75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

חלק את ‎10 ב- ‎5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

חלק את ‎75 ב- ‎5.

$$x^{2}+2x=15$$

חלק את ‎2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

‎1 בריבוע.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

הוסף את ‎15 ל- ‎1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

פרק x^{2}+2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

פשט.

$$x+1=4 x+1=-4$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$x=3 x=-5$$