פתור את 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- -3x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=9 b=-5$$

שכתב את ‎-3x^{2}+4x+15 כ- ‎\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את -x+3=0 ו- 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -3 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- 15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎12 ב- ‎15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±14}{-6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{-6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±14}{-6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎-6.

$$x=3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

החסרת 15 מעצמו נותנת 0.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

חילוק ב- ‎-3 מבטל את ההכפלה ב- ‎-3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

חלק את ‎4 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

חלק את ‎-15 ב- ‎-3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

חלק את ‎-\frac{4}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

הוסף את ‎5 ל- ‎\frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$