פתור את 49x^2-42x+9

$$49 x ^ { 2 } - 42 x + 9$$

פרק לגורמים

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 49x^{2}+ax+bx+9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-42 ab=49\times 9=441$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -42.

$$a=-21 b=-21$$

שכתב את ‎49x^{2}-42x+9 כ- ‎\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right).

$$\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$7x\left(7x-3\right)-3\left(7x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 7x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(49x^{2}-42x+9)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(49,-42,9)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 49x^{2}.

$$\sqrt{49x^{2}}=7x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

‎-42 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎49.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-196\times 9}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-196 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 49}$$

הוסף את ‎1764 ל- ‎-1764.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 49}$$

ההופכי של ‎-42 הוא ‎42.

$$x=\frac{42±0}{2\times 49}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎49.

$$x=\frac{42±0}{98}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{7} במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{7} במקום x_{2}.

$$49x^{2}-42x+9=49\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\times \frac{7x-3}{7}$$

הכפל את ‎\frac{7x-3}{7} ב- ‎\frac{7x-3}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{7\times 7}$$

הכפל את ‎7 ב- ‎7.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{49}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎49 ב- ‎49 ו- ‎49.

$$49x^{2}-42x+9=\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

הערך

$$\left(7x-3\right)^{2}$$