פתור את 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

פתור עבור t

$$t=-1$$

$$t=4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- t^{2}+at+bt-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -4.

$$1,-4 2,-2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-4=-3 2-2=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-4 b=1$$

שכתב את ‎t^{2}-3t-4 כ- ‎\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף t ב- t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

הוצא את האיבר המשותף t-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את t-4=0 ו- t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 49 במקום a, ב- -147 במקום b, וב- -196 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

‎-147 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-196 ב- ‎-196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

הוסף את ‎21609 ל- ‎38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

הוצא את השורש הריבועי של 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

ההופכי של ‎-147 הוא ‎147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{147±245}{98} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎147 ל- ‎245.

$$t=\frac{392}{98}$$

חלק את ‎392 ב- ‎98.

$$t=4$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{147±245}{98} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎245 מ- ‎147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

חלק את ‎-98 ב- ‎98.

$$t=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$t=4 t=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

הוסף ‎196 לשני אגפי המשוואה.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

החסרת -196 מעצמו נותנת 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

החסר ‎-196 מ- ‎0.

$$49t^{2}-147t=196$$

חלק את שני האגפים ב- ‎49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

חילוק ב- ‎49 מבטל את ההכפלה ב- ‎49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

חלק את ‎-147 ב- ‎49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

חלק את ‎196 ב- ‎49.

$$t^{2}-3t=4$$

חלק את ‎-3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

פרק t^{2}-3t+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

פשט.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$t=4 t=-1$$