פתור את 49x^2-14x+1=

$$49 { x }^{ 2 } -14x+1 =$$

פרק לגורמים

$$\left(7x-1\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 49x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-14 ab=49\times 1=49$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 49.

$$-1,-49 -7,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-49=-50 -7-7=-14$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -14.

$$a=-7 b=-7$$

שכתב את ‎49x^{2}-14x+1 כ- ‎\left(49x^{2}-7x\right)+\left(-7x+1\right).

$$\left(49x^{2}-7x\right)+\left(-7x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$7x\left(7x-1\right)-\left(7x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 7x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7x-1\right)\left(7x-1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(7x-1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(49x^{2}-14x+1)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(49,-14,1)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 49x^{2}.

$$\sqrt{49x^{2}}=7x$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(7x-1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$49x^{2}-14x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 49}}{2\times 49}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 49}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎49.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-196}}{2\times 49}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎-196.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±0}{2\times 49}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±0}{2\times 49}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎49.

$$x=\frac{14±0}{98}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{7} במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{7} במקום x_{2}.

$$49x^{2}-14x+1=49\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\frac{1}{7}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49x^{2}-14x+1=49\times \frac{7x-1}{7}\left(x-\frac{1}{7}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49x^{2}-14x+1=49\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{7x-1}{7}$$

הכפל את ‎\frac{7x-1}{7} ב- ‎\frac{7x-1}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49x^{2}-14x+1=49\times \frac{\left(7x-1\right)\left(7x-1\right)}{7\times 7}$$

הכפל את ‎7 ב- ‎7.

$$49x^{2}-14x+1=49\times \frac{\left(7x-1\right)\left(7x-1\right)}{49}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎49 ב- ‎49 ו- ‎49.

$$49x^{2}-14x+1=\left(7x-1\right)\left(7x-1\right)$$

הערך

$$\left(7x-1\right)^{2}$$