פתור את 48x^2-52x-26=0

$$48 x ^ { 2 } - 52 x - 26 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{481} + 13}{24} \approx 1.455488008$$

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}\approx -0.372154675$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 48 במקום a, ב- -52 במקום b, וב- -26 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

‎-52 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎48.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-192\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

הכפל את ‎-192 ב- ‎-26.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704+4992}}{2\times 48}$$

הוסף את ‎2704 ל- ‎4992.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{7696}}{2\times 48}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7696.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

ההופכי של ‎-52 הוא ‎52.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎48.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎52 ל- ‎4\sqrt{481}.

$$x=\frac{4\sqrt{481}+52}{96}$$

חלק את ‎52+4\sqrt{481} ב- ‎96.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{481} מ- ‎52.

$$x=\frac{52-4\sqrt{481}}{96}$$

חלק את ‎52-4\sqrt{481} ב- ‎96.

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

הוסף ‎26 לשני אגפי המשוואה.

$$48x^{2}-52x-26-\left(-26\right)=-\left(-26\right)$$

החסרת -26 מעצמו נותנת 0.

$$48x^{2}-52x=-\left(-26\right)$$

החסר ‎-26 מ- ‎0.

$$48x^{2}-52x=26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎48.

$$\frac{48x^{2}-52x}{48}=\frac{26}{48}$$

חילוק ב- ‎48 מבטל את ההכפלה ב- ‎48.

$$x^{2}+\left(-\frac{52}{48}\right)x=\frac{26}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-52}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{26}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{26}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{13}{24}$$

חלק את ‎-\frac{13}{12}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{13}{24}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{13}{24} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{13}{24}+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{13}{24} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{13}{24}+\frac{169}{576}$$

הוסף את ‎\frac{13}{24} ל- ‎\frac{169}{576} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{481}{576}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{481}{576}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{481}{576}}$$

פשט.

$$x-\frac{13}{24}=\frac{\sqrt{481}}{24} x-\frac{13}{24}=-\frac{\sqrt{481}}{24}$$

הוסף ‎\frac{13}{24} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$