פתור את 45x^2-8x-21

$$45 x ^ { 2 } - 8 x - 21$$

פרק לגורמים

$$\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 45x^{2}+ax+bx-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=45\left(-21\right)=-945$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -945.

$$1,-945 3,-315 5,-189 7,-135 9,-105 15,-63 21,-45 27,-35$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-945=-944 3-315=-312 5-189=-184 7-135=-128 9-105=-96 15-63=-48 21-45=-24 27-35=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-35 b=27$$

שכתב את ‎45x^{2}-8x-21 כ- ‎\left(45x^{2}-35x\right)+\left(27x-21\right).

$$\left(45x^{2}-35x\right)+\left(27x-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$5x\left(9x-7\right)+3\left(9x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 9x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$45x^{2}-8x-21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 45\left(-21\right)}}{2\times 45}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 45\left(-21\right)}}{2\times 45}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎45.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-180\left(-21\right)}}{2\times 45}$$

הכפל את ‎-180 ב- ‎-21.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+3780}}{2\times 45}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎3780.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{3844}}{2\times 45}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3844.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±62}{2\times 45}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±62}{2\times 45}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎45.

$$x=\frac{8±62}{90}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±62}{90} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎62.

$$x=\frac{70}{90}$$

צמצם את השבר ‎\frac{70}{90} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=\frac{7}{9}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±62}{90} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎62 מ- ‎8.

$$x=-\frac{54}{90}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-54}{90} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 18.

$$x=-\frac{3}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{9} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{5} במקום x_{2}.

$$45x^{2}-8x-21=45\left(x-\frac{7}{9}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$45x^{2}-8x-21=45\left(x-\frac{7}{9}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

החסר את x מ- \frac{7}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{9x-7}{9}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{9x-7}{9}\times \frac{5x+3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{9x-7}{9} ב- ‎\frac{5x+3}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)}{9\times 5}$$

הכפל את ‎9 ב- ‎5.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)}{45}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎45 ב- ‎45 ו- ‎45.

$$45x^{2}-8x-21=\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$

הערך

$$\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$