פתור את 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 42x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-14 b=9$$

שכתב את ‎42x^{2}-5x-3 כ- ‎\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 14x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 42 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

הכפל את ‎-168 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±23}{84} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎23.

$$x=\frac{28}{84}$$

צמצם את השבר ‎\frac{28}{84} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±23}{84} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{84} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

החסרת -3 מעצמו נותנת 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

החסר ‎-3 מ- ‎0.

$$42x^{2}-5x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

חילוק ב- ‎42 מבטל את ההכפלה ב- ‎42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{3}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

חלק את ‎-\frac{5}{42}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{84}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{84} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{84} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

הוסף את ‎\frac{1}{14} ל- ‎\frac{25}{7056} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

הוסף ‎\frac{5}{84} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$