פתור את 42m^2-89m-21

$$42 m ^ { 2 } - 89 m - 21$$

פרק לגורמים

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 42m^{2}+am+bm-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-89 ab=42\left(-21\right)=-882$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -882.

$$1,-882 2,-441 3,-294 6,-147 7,-126 9,-98 14,-63 18,-49 21,-42$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-882=-881 2-441=-439 3-294=-291 6-147=-141 7-126=-119 9-98=-89 14-63=-49 18-49=-31 21-42=-21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -89.

$$a=-98 b=9$$

שכתב את ‎42m^{2}-89m-21 כ- ‎\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right).

$$\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 14m בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$14m\left(3m-7\right)+3\left(3m-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3m-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$42m^{2}-89m-21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{\left(-89\right)^{2}-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

‎-89 בריבוע.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎42.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-168\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

הכפל את ‎-168 ב- ‎-21.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921+3528}}{2\times 42}$$

הוסף את ‎7921 ל- ‎3528.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{11449}}{2\times 42}$$

הוצא את השורש הריבועי של 11449.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±107}{2\times 42}$$

ההופכי של ‎-89 הוא ‎89.

$$m=\frac{89±107}{2\times 42}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎42.

$$m=\frac{89±107}{84}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{89±107}{84} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎89 ל- ‎107.

$$m=\frac{196}{84}$$

צמצם את השבר ‎\frac{196}{84} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 28.

$$m=\frac{7}{3}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{89±107}{84} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎107 מ- ‎89.

$$m=-\frac{18}{84}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{84} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$m=-\frac{3}{14}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{14} במקום x_{2}.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m-\left(-\frac{3}{14}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

החסר את m מ- \frac{7}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{14} ל- ‎m על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\times \frac{14m+3}{14}$$

הכפל את ‎\frac{3m-7}{3} ב- ‎\frac{14m+3}{14} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{3\times 14}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎14.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{42}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎42 ב- ‎42 ו- ‎42.

$$42m^{2}-89m-21=\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

הערך

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$