פתור את 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1.418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0.772078574$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 419 במקום a, ב- -918 במקום b, וב- 459 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

‎-918 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

הכפל את ‎-1676 ב- ‎459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

הוסף את ‎842724 ל- ‎-769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

הוצא את השורש הריבועי של 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

ההופכי של ‎-918 הוא ‎918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎918 ל- ‎12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

חלק את ‎918+12\sqrt{510} ב- ‎838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12\sqrt{510} מ- ‎918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

חלק את ‎918-12\sqrt{510} ב- ‎838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

החסר ‎459 משני אגפי המשוואה.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

החסרת 459 מעצמו נותנת 0.

$$419x^{2}-918x=-459$$

חלק את שני האגפים ב- ‎419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

חילוק ב- ‎419 מבטל את ההכפלה ב- ‎419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

חלק את ‎-\frac{918}{419}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{459}{419}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{459}{419} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{459}{419} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

הוסף את ‎-\frac{459}{419} ל- ‎\frac{210681}{175561} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

פרק x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

פשט.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

הוסף ‎\frac{459}{419} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$