פתור את 40x^2-71x+21

$$40 { x }^{ 2 } -71x+21$$

פרק לגורמים

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 40x^{2}+ax+bx+21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-71 ab=40\times 21=840$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 840.

$$-1,-840 -2,-420 -3,-280 -4,-210 -5,-168 -6,-140 -7,-120 -8,-105 -10,-84 -12,-70 -14,-60 -15,-56 -20,-42 -21,-40 -24,-35 -28,-30$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-840=-841 -2-420=-422 -3-280=-283 -4-210=-214 -5-168=-173 -6-140=-146 -7-120=-127 -8-105=-113 -10-84=-94 -12-70=-82 -14-60=-74 -15-56=-71 -20-42=-62 -21-40=-61 -24-35=-59 -28-30=-58$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -71.

$$a=-56 b=-15$$

שכתב את ‎40x^{2}-71x+21 כ- ‎\left(40x^{2}-56x\right)+\left(-15x+21\right).

$$\left(40x^{2}-56x\right)+\left(-15x+21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 8x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$8x\left(5x-7\right)-3\left(5x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$40x^{2}-71x+21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{\left(-71\right)^{2}-4\times 40\times 21}}{2\times 40}$$

‎-71 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-4\times 40\times 21}}{2\times 40}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎40.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-160\times 21}}{2\times 40}$$

הכפל את ‎-160 ב- ‎21.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-3360}}{2\times 40}$$

הוסף את ‎5041 ל- ‎-3360.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{1681}}{2\times 40}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1681.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±41}{2\times 40}$$

ההופכי של ‎-71 הוא ‎71.

$$x=\frac{71±41}{2\times 40}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎40.

$$x=\frac{71±41}{80}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{71±41}{80} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎71 ל- ‎41.

$$x=\frac{112}{80}$$

צמצם את השבר ‎\frac{112}{80} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$x=\frac{7}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{71±41}{80} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎41 מ- ‎71.

$$x=\frac{30}{80}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{80} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=\frac{3}{8}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{8} במקום x_{2}.

$$40x^{2}-71x+21=40\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x-\frac{3}{8}\right)$$

החסר את x מ- \frac{7}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{5x-7}{5}\left(x-\frac{3}{8}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{5x-7}{5}\times \frac{8x-3}{8}$$

הכפל את ‎\frac{5x-7}{5} ב- ‎\frac{8x-3}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)}{5\times 8}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎8.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)}{40}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎40 ב- ‎40 ו- ‎40.

$$40x^{2}-71x+21=\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

הערך

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$