פתור את 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 40x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -14.

$$a=-10 b=-4$$

שכתב את ‎40x^{2}-14x+1 כ- ‎\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 10x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4x-1=0 ו- 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 40 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎-160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

הוצא את השורש הריבועי של 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±6}{80} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎6.

$$x=\frac{20}{80}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{80} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±6}{80} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6 מ- ‎14.

$$x=\frac{8}{80}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{80} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

חילוק ב- ‎40 מבטל את ההכפלה ב- ‎40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{40} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

חלק את ‎-\frac{7}{20}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{40}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{40} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{40} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{40} ל- ‎\frac{49}{1600} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

הוסף ‎\frac{7}{40} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$