פתור את 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

פתור עבור z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8.507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23.507810594$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4z^{2}+60z=800$$

החסר ‎800 משני אגפי המשוואה.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

החסרת 800 מעצמו נותנת 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 60 במקום b, וב- -800 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

‎60 בריבוע.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎3600 ל- ‎12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-60 ל- ‎20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

חלק את ‎-60+20\sqrt{41} ב- ‎8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20\sqrt{41} מ- ‎-60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

חלק את ‎-60-20\sqrt{41} ב- ‎8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

חלק את ‎60 ב- ‎4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

חלק את ‎800 ב- ‎4.

$$z^{2}+15z=200$$

חלק את ‎15, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{15}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{15}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

הוסף את ‎200 ל- ‎\frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

פרק z^{2}+15z+\frac{225}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

פשט.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$