פתור את 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

פתור עבור y

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4y^{2}+ay+by+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-8 b=-1$$

שכתב את ‎4y^{2}-9y+2 כ- ‎\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4y בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-2=0 ו- 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -9 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

‎-9 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎-32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{9±7}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎7.

$$y=\frac{16}{8}$$

חלק את ‎16 ב- ‎8.

$$y=2$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{9±7}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎9.

$$y=\frac{2}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

חלק את ‎-\frac{9}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{81}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

פרק y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

פשט.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

הוסף ‎\frac{9}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$