פתור את 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

פרק לגורמים

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4y^{2}+ay+by+27. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -24.

$$a=-18 b=-6$$

שכתב את ‎4y^{2}-24y+27 כ- ‎\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2y בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2y-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

‎-24 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎-432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{24±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎12.

$$y=\frac{36}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{36}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{24±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12 מ- ‎24.

$$y=\frac{12}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{9}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

החסר את y מ- \frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

החסר את y מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2y-9}{2} ב- ‎\frac{2y-3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

הערך

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$