פתור את 4y^2-12y+9

$$4 y ^ { 2 } - 12 y + 9$$

פרק לגורמים

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4y^{2}+ay+by+9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -12.

$$a=-6 b=-6$$

שכתב את ‎4y^{2}-12y+9 כ- ‎\left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right).

$$\left(4y^{2}-6y\right)+\left(-6y+9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2y בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$2y\left(2y-3\right)-3\left(2y-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2y-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(4y^{2}-12y+9)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(4,-12,9)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 4y^{2}.

$$\sqrt{4y^{2}}=2y$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(2y-3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-12y+9=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

‎-12 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=\frac{12±0}{8}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$4y^{2}-12y+9=4\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

החסר את y מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

החסר את y מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{2y-3}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2y-3}{2} ב- ‎\frac{2y-3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4y^{2}-12y+9=4\times \frac{\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4y^{2}-12y+9=\left(2y-3\right)\left(2y-3\right)$$

הערך

$$\left(2y-3\right)^{2}$$