פתור את 4x-5y=53text{and}2x+3y=-1

$$4 x - 5 y = 53 \text { and } 2 x + 3 y = - 1$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-5y=53,2x+3y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-5y=53$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=5y+53$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+53\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎5y+53.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{53}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+53}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=-1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{53}{4}\right)+3y=-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{5y+53}{4}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{53}{2}+3y=-1$$

הוסף את ‎\frac{5y}{2} ל- ‎3y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{53}{2}=-1$$

החסר ‎\frac{53}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{55}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4}y+\frac{53}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{4}\left(-5\right)+\frac{53}{4}$$

הכפל את ‎\frac{5}{4} ב- ‎-5.

$$x=\frac{-25+53}{4}$$

הוסף את ‎\frac{53}{4} ל- ‎-\frac{25}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-5y=53,2x+3y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 53+\frac{5}{22}\left(-1\right)\\-\frac{1}{11}\times 53+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-5y=53,2x+3y=-1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 53,4\times 2x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

פשט.

$$8x-10y=106,8x+12y=-4$$

החסר את ‎8x+12y=-4 מ- ‎8x-10y=106 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-10y-12y=106+4$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y-12y=106+4$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-12y.

$$-22y=106+4$$

הוסף את ‎106 ל- ‎4.

$$-22y=110$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=-5$$

השתמש ב- ‎-5 במקום y ב- ‎2x+3y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-5.

$$2x-15=-1$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=-5$$