פתור את 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-5y=2$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=5y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

הוסף את ‎\frac{5y}{4} ל- ‎10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{45}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{5} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{4} ב- ‎\frac{18}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

פשט.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

החסר את ‎4x+40y=164 מ- ‎4x-5y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y-40y=2-164$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-40y.

$$-45y=2-164$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-164.

$$-45y=-162$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-45.

$$y=\frac{18}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{18}{5} במקום y ב- ‎x+10y=41. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

הכפל את ‎10 ב- ‎\frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$